第一章　集合与常用逻辑用语

集合的
概念

散着是一堆，收起来是一个

先看六个例子

  1. 1～10 之间的所有偶数
  2. 立德中学今年入学的全体高一学生
  3. 所有的正方形
  4. 到直线 l 的距离等于定长 d 的所有点
  5. 方程 x² − 3x + 2 = 0 的所有实数根
  6. 地球上的四大洋
例（1）中，把 1～10 之间的每一个偶数作为元素，
2, 4, 6, 8, 10
这些元素的全体就是一个集合。
例（2）里，每一位高一学生是元素，全体学生是集合。

轻点左边任意一条，看它到底长什么样。

什么是集合

一般地，我们把研究对象统称为元素（element），
把一些元素组成的总体叫做集合（set）。

例（3）到例（6）也能组成集合吗？元素分别是什么？

能。正方形、点、方程的根、四大洋，都是元素。

特征一：确定性

给定一个集合，一个元素在不在其中就确定了。

能构成集合

1～10 之间的所有偶数
2、4、6、8、10 是它的元素；
1、3、5、7、9 不是。

不能构成集合

较小的数
多小算小？说不清楚，
元素不确定。
所以判断一组对象能不能组成集合，就看它的元素是否确定。

特征二、三：互异性 · 无序性

一个给定集合中的元素是互不相同的——
集合中的元素不重复出现。
只要构成两个集合的元素是一样的，
我们就称这两个集合是相等的。

{1, 2, 3} = {3, 1, 2}

写成 {1, 1, 2} 是错的——
重复写的元素只算一个。
大括号里的数字，
换了位置还是同一个集合。

试一试：拖进对应的筐

判断标准只有一条——元素是否确定。

1～10 之间的所有偶数 较小的数 方程 x² − 3x + 2 = 0 的所有实数根 著名的数学家 所有的正方形 高中学生中的游泳能手

能构成集合

不能构成集合

元素与集合的关系：属于

通常用大写字母 A、B、C… 表示集合，
用小写字母 a、b、c… 表示元素。

如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，
记作 a ∈ A
如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，
记作 a ∉ A

若 A 表示 1～10 之间所有偶数的集合，
则 4 ∈ A，3 ∉ A。

常用的数集及其记法

集合记法
非负整数集（自然数集）N
正整数集N* 或 N₊
整数集Z
有理数集Q
实数集R

这几个记号要背到条件反射。

表示方法一：列举法

{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
{1, 2}

把集合的所有元素一一列举出来，
并用花括号“{ }”括起来。

元素之间用逗号隔开；顺序可以任意。

例 1　用列举法表示下列集合

（1）小于 10 的所有自然数组成的集合；
（2）方程 x² = x 的所有实数根组成的集合。
解（1）设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A，那么
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
解（2）设方程 x² = x 的所有实数根组成的集合为 B，那么
B = {0, 1}

顺序无关，A 也可以写成 {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}。

表示方法二：描述法

不等式 x − 7 < 3 的解是 x < 10，
满足它的实数有无数个——列举不完。

那就用元素的共同特征来描述：
x 是实数，且 x < 10，记作
{x ∈ R | x < 10}

描述法的一般形式

{x ∈ A | P(x)}
把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 组成的集合
换句话验证：从 {x ∈ A | P(x)} 里任意取一个 y， 都一定有 y ∈ A，并且 P(y) 成立。
奇数集　{x ∈ Z | x = 2k + 1, k ∈ Z}
有理数集　Q = {x ∈ R | x = p
—
q, p, q ∈ Z, p ≠ 0}
竖线可以换成冒号或分号：
{x ∈ A : P(x)}　{x ∈ A ; P(x)}
从上文能看出 x ∈ R、x ∈ Z 时，可以省略不写。
例如 {x | x < 10}。

例 2　分别用描述法和列举法表示

（1）方程 x² − 2 = 0 的所有实数根组成的集合 A；
（2）由大于 10 且小于 20 的所有整数组成的集合 B。
（1）x 是实数，且 x² − 2 = 0，所以
描述法　A = {x ∈ R | x² − 2 = 0}
列举法　A = {√2, −√2}
（2）x 是整数，且 10 < x < 20，所以
描述法　B = {x ∈ Z | 10 < x < 20}
列举法　B = {11, 12, …, 19}

三种方式，什么时候用哪一种

自然语言 列举法 描述法
样子 1～10 之间的
所有偶数		 {2, 4, 6, 8, 10} {x ∈ N | x < 10，
x 为偶数}
好处 像说话，
最好懂		 一眼看清
有哪几个		 再多、无限
也写得下
短板 不精确，
没法算		 数不完
就写不了		 要先看懂
符号
同一集合，几种写法都可以——
只要能把它写清楚就行。
自然语言、列举法、描述法，
是表示集合的三种方式。

课堂练习

1. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1）在平面 α 内与两个定点 A、B 距离相等的点；
（2）高中学生中的游泳能手。
2. 用符号“∈”或“∉”填空：0 ___ N，−3 ___ N，0.5 ___ Z，√2 ___ Z，⅓ ___ Q，π ___ R。
3. 用适当的方法表示：
（1）方程 x² − 9 = 0 的所有实数根组成的集合；
（2）一次函数 y = x + 3 与 y = −2x + 6 图象的交点组成的集合；
（3）不等式 4x − 5 < 3 的解集。
答 1（1）是。到两定点距离相等的点唯一确定——就是线段 AB 的垂直平分线。
答 1（2）不是。“游泳能手”没有确定标准。
0 ∈ N　−3 ∉ N
0.5 ∉ Z　√2 ∉ Z
⅓ ∈ Q　π ∈ R
答 3
（1）{x ∈ R | x² − 9 = 0}，即 {3, −3}
（2）解方程组得 (1, 4)，故 {(1, 4)}
（3）{x | x < 2}

习题 1.1　复习巩固

1. 用符号“∈”或“∉”填空：
（1）A 为所有亚洲国家组成的集合：中国 ___ A，美国 ___ A，印度 ___ A，英国 ___ A；
（2）若 A = {x | x² = x}，则 −1 ___ A；
（3）若 B = {x | x² + x − 6 = 0}，则 3 ___ B；
（4）若 C = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 10}，则 8 ___ C，9.1 ___ C。
2. 用列举法表示下列集合：
（1）大于 1 且小于 6 的整数；　（2）A = {x | (x−1)(x+2) = 0}；　（3）B = {x ∈ Z | −3 < 2x−1 < 3}。
中国 ∈ A　美国 ∉ A
印度 ∈ A　英国 ∉ A
−1 ∉ A（A = {0, 1}）
3 ∈ B（B = {2, −3}）
8 ∈ C，9.1 ∉ C
答 2
（1）{2, 3, 4, 5}
（2）A = {1, −2}
（3）B = {0, 1}

习题 1.1　综合运用 · 拓展探索

3. 把下列集合用另一种方法表示出来：
（1）{2, 4, 6, 8, 10}；　（2）由 1, 2, 3 这三个数字抽出部分或全部（没有重复）所组成的一切自然数；
（3）{x ∈ N | 3 < x < 7}；　（4）中国古代四大发明。
4. 用适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数 y = x² − 4 的函数值组成的集合；
（2）反比例函数 y = 2
—
x 的自变量的取值组成的集合；
（3）不等式 3x ≥ 4 − 2x 的解集。
答 3
（1）{x ∈ N | x ≤ 10 且 x 为偶数}
（2）{x | x 由 1, 2, 3 的部分或全部数字
　　　组成，且没有重复}
（3）{4, 5, 6}　（4）{火药, 造纸术, 印刷术, 指南针}
答 4
（1）{y | y ≥ −4}　（2）{x | x ≠ 0}
（3）{x | x ≥ 4/5}
5（拓展）康托尔（1845—1918）创立集合论。查资料，写一份简短报告。

这节课我们做了三件事

  • 认：元素与集合，一大堆东西看成一个整体
  • 辨：确定性、互异性、无序性，判断能不能构成集合
  • 写：列举法、描述法，把集合说清楚
∈ 与 ∉，是元素和集合之间唯一的关系。

课后想一想

  1. 集合 {0} 与空集是同一个集合吗？
  2. {x | x > 1} 与 {y | y > 1} 是同一个集合吗？
  3. 下一节：集合间的基本关系。
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