第五章　三角函数

正弦函数、
余弦函数的图象

从单位圆上的一段竖线，到一条波浪线

先问一句：正弦函数长什么样？

我们知道它的定义：

任意角 x 的终边与单位圆交于点 P(a, b)，
则 sin x = b

定义域 ℝ　值域 [−1, 1]

教科书上的办法：描点法

列表：取一批 x，算出对应的 sin x
描点：把每个 (x, sin x) 点上去
连线：用光滑曲线连起来

可是 x 能取无穷多个，
一个个算，算到什么时候？

描点法能画，但画不完，也画不准。

sin x 就是这一段竖线的有向长度

圆转一圈，右边的点就走出一条曲线

y = sin x，x ∈ [0, 2π] 的图象

五点法

这五个点决定了曲线的骨架：

x	0	π/2	π	3π/2	2π
sin x	0	1	0	−1	0

最高点、最低点、三个零点——找到它们，曲线的形状就定了。

例：用五点法画 y = 1 + sin x

由 sin(x + 2kπ) = sin x，把图象向左右平移

cos x = sin(x + π/2)：把正弦曲线左移 π/2

余弦曲线的五点

x	0	π/2	π	3π/2	2π
cos x	1	0	−1	0	1

正弦从 0 起步，余弦从 1 起步——
其余一模一样。

同一条曲线，挪了个位置

这节课我们做了三件事

几何法：单位圆 → 正弦线 → 平移 → 曲线
五点法：五个关键点定形状
平移法：推周期到全体实数，左移 π/2 得余弦

两条曲线形态完全相同，只是起点不同。

课后想一想

1. sin x 与 −sin x 的图象什么关系？

2. 画 y = 2sin x，五个点变在哪？

3. 余弦曲线也能用单位圆法画吗？

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质

周期 · 奇偶 · 单调 · 最值

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正弦函数、余弦函数的图象